기초통계학 (7) - 모분산에 관한 추론

모분산에 대한 추정 및 검정

모평균에 대한 가설 검정을 수행했던 것과 비슷하게, 모집단의 변동성에 관심이 있다면 모분산에 대한 가설 검정을 진행할 수 있다. 우리의 관심 대상 $\sigma^2$에 대응되는 추정량(혹은 검정통계량)은 표본분산 $S^2$이 되고, 모집단의 정규성 가정 하에 표본분산은 적절한 표준화를 통해 카이제곱 분포로 나타낼 수 있다.

 

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 (n-1)$$

 

식을 변형하여 $\sigma^2$에 대한 추정 및 신뢰구간을 구하는 것은 어렵지 않을 것이다. 다만 모평균 $\mu$를 추정할 때는 Z-분포의 대칭성을 생각하면 $z_{1-\alpha/2}=-z_{\alpha/2}$으로 계산하는 것이 가능했지만, 카이제곱분포는 대칭적이지 않으므로 $\chi^2_{1-\alpha/2}, \chi^2_{\alpha/2}$를 각각 따로 구해야 함에 유의하면 된다. 또한, 카이제곱분포는 t-분포와 달리 robust하지 않기 때문에, 정규모집단 가정에 대한 검토가 이루어져야 한다.

 

 

가설 검정 역시도 위의 식을 참고하여 수행하면 된다. 아래의 예시를 보자.

한 공장에서는 제품의 중량을 검사하여 중량의 표준편차가 5g을 초과하면 생산 공정에 문제가 있다고 간주한다. 10개의 제품을 생산하여 측정한 무게가 다음과 같이 주어졌을 때, 생산 공정에 문제가 있다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오. 단, 제품의 무게는 정규분포라고 가정한다. 49, 46, 50, 57, 55, 43, 50, 52, 47, 55

 

1. $H_0 : \sigma^2 = 5^2, H_1 : \sigma^2 > 5^2$

2. $\alpha = 0.05$

3. $\frac{(10-1)\times 19.6}{5^2} = 7.06 \sim \chi^2(9)$

4. $\chi^2 \geq \chi^2_{0.05}(9) = 16.92$가 성립하지 않으므로, Do not reject $H_0$

 

 

두 모분산에 대한 추정 및 검정

두 모집단의 분산을 비교하고 싶은 경우로, 전편의 이표본 가설 검정과 궤를 같이한다. 다만 이표본의 모평균을 비교할 때는 두 모평균의 차이 $\mu_1 - \mu_2$를 살펴본 것과 달리, 이번에는 두 모분산의 비 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$를 살펴본다. 그 이유는 두 모평균의 차에 대한 추정량 $S_1^2 - S_2^2$에 대응되는 확률분포가 정의되지 않았기 때문이다. 이 확률분포는 두 카이제곱분포의 차이가 되어야 하는데, 카이제곱분포는 가법성을 지니지만(즉, 카이제곱분포의 합은 새로운 카이제곱분포가 되지만) 대칭성은 지니지 않아 카이제곱분포의 차이는 새로운 카이제곱분포가 되지 않는다.

 

대신 카이제곱분포의 비가 F-분포로 정의되어 있으므로, 두 표본분산의 비를 추정량으로 삼아서 F-분포로 나타내면 된다.

 

$$\frac{(S_1^2 / \sigma_1^2)}{(S_2^2 / \sigma_2^2)} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$$

 

F-분포의 특성을 생각하면, 신뢰구간을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)} \leq \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}  \leq \frac{s_1^2}{s_2^2} F_{\alpha/2}(n_2-1, n_1-1)$$

 

이로써 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$에 대한 추정을 진행하거나, 귀무가설 $H_0 : \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1$로 놓고 가설 검정을 수행할 수 있을 것이다. 특히 이표본 문제에서 등분산 가정을 사용하고 싶은 경우, 두 모분산에 대한 검정을 먼저 수행하여 Do not reject $H_0$임을 보이는 것이 필요하다. 구체적인 과정은 앞서와 크게 다르지 않으므로 생략한다.